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已知數列{a_n}為遞增等差數列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根．數列{b_n}為等比數列，且b₁=a₂，b₄=a₅²．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和S_n．

等差數列{a_n}中，a₃+a₄=9，a₂a₅=18，則a₁a₆=．

已知拋物線C₁：x²=2py（p＞0）與橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）在第一象限的公共點為A（2

2

，1），設拋物線C₁的焦點為F，橢圓C₂的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0），△F₁F₂F的面積為6．
（Ⅰ）求拋物線C₁和橢圓C₂的方程；
（Ⅱ）設A₁，A₂為橢圓C₂的左、右頂點，P為橢圓C₂上異于A₁，A₂的任意一點，直線l：x=

a2

c

，l與直線A₁P，A₂P分別交于點M，N，試探究：在x軸上是否存在定點D，使得以線段MN為直徑的圓恒過點D，若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）推廣（Ⅱ），得橢圓的一般性的正確命題，據此類比，得到雙曲線的一般性正確命題，請直接寫出這個雙曲線的正確命題（不必證明）．

如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=AC=

2

，AA′=1，點M、N分別為A′B，B′C′的中點
（1）證明：平面AA′B′B⊥平面AA′C′C；
（2）求直線MN與平面AA′B′B所成角的正切值；
（3）求三棱錐A′-MNC的體積．

已知定義域為R的函數f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求函數g（x）=（log_ax）²-log_ax²-2b在x∈[

1

2

，4]上的值域．

已知拋物線y²=2px（p＞0），直線過點A（-2，-4），且傾斜角為45°．
（Ⅰ）若直線與拋物線交于M，N兩點，且有|MN|²=|AM|•|AN|，求拋物線的方程；
（Ⅱ）是否存在實數p，使得拋物線上存在關于直線對稱的不同的兩點，若存在，求出p的取值范圍，若不存在，請說明理由．

已知函數f（x）=mx+lnx，其中m為常數，e為自然對數的底數．
（1）當m=-1時，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在區間（0，e]上的最大值為-3，求m的值．

已知冪函數f（x）=（m-1）²x m2-4m+2在（0，+∞）上單調遞增，函數g（x）=2^x-k．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）當x∈[1，2]時，記f（x），g（x）的值域分別為集合A，B，若A∪B=A，求實數k的取值范圍．

（1）求經過點P（-3，-4），且在x軸、y軸上的截距相等的直線l的方程；
（2）已知|

a

|=4，|

b

|=3，（2

a

-3

b

）•（2

a

+

b

）=61，求

a

•

b

及|

a

+3

b

|的值．

設F₁、F₂分別是橢圓D：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過F₂作傾斜角為

π

3

的直線交橢圓D于A、B兩點，F₁到直線AB的距離為3，△ABF₁的周長為8．
（1）求橢圓D的方程；
（2）已知點M（-1，0），設E是橢圓D上的一點，過E、M兩點的直線l交y軸于點C，若

CE

=2

EM

，求點C的坐標．