Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），直線過點A（-2，-4），且傾斜角為45°．
（Ⅰ）若直線與拋物線交于M，N兩點，且有|MN|²=|AM|•|AN|，求拋物線的方程；
（Ⅱ）是否存在實數p，使得拋物線上存在關于直線對稱的不同的兩點，若存在，求出p的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）直線的方程為y+4=x+2，即x-y-2=0，與拋物線聯立，利用韋達定理，結合|MN|²=|AM|•|AN|，求拋物線的方程；
（Ⅱ）假設存在p，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是拋物線上關于對稱的兩點，線段PQ的中點為G（x₀，y₀）．求出PQ的方程為y=-x+m，與拋物線聯立，利用韋達定理即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）直線的方程為y+4=x+2，即x-y-2=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）為方程組

y2=2px x-y-2=0

的解．
化簡得y²-2py-4p=0．
∴y₁+y₂=2p，y₁y₂=-4p．|MN|²=2（y₂-y₁）²=8p（p+4）
∴|AM|•|AN|=

2

|y1+4|•

2

|y2+4|=2|y1y2+4(y1+y2)+16|=8(p+4)．
∴8p（p+4）=8（p+4）．∵p＞0，∴p=1．
∴所求拋物線方程為y²=2x．
（Ⅱ）假設存在p，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是拋物線上關于對稱的兩點，線段PQ的中點為G（x₀，y₀）．
PQ垂直直線，故PQ的方程為y=-x+m．
由

y=-x+m y2=2px

得y²+2py-2pm=0．
∴y₁+y₂=-2p，于是y₀=-p．∴x₀=m+p．
∵點G在直線上，故有m+p-（-p）-2=0．
∴m=2-2p．y²+2py-2p（2-2p）=0．
由△=4p²+8p（2-2p）＞0，即3p²-4p＜0，解得0＜p＜

4

3

．
∴當0＜p＜

4

3

時，拋物線y²=2px上存在關于直線對稱的兩點．

點評：本題考查滿足條件的直線是否存在的判斷，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．