Question

已知函數(shù)f（x）=mx+lnx，其中m為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)m=-1時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值為-3，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）m=-1時(shí)，f（x）=-x+lnx，（x＞0），先求出f′（x）=-1+

1

x

，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最大值；
（2）先求出f′（x）=m+

1

x

，再討論①m≥0，②m＜0時(shí)的情況，從而求出參數(shù)m的值．

解答： 解：（1）m=-1時(shí)，f（x）=-x+lnx，（x＞0），
∴f′（x）=-1+

1

x

，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f（x）_最大值=f（1）=-1，
（2）∵f′（x）=m+

1

x

，
①m≥0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，e]遞增，
∴f（x）_最大值=f（e）=me+1=-3，解得：m=-

4

e

．不合題意，
②m＜0時(shí)，令f′（x）=0，解得：x=-

1

m

，
若-

1

m

≥e，則f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，e]遞增，
∴f（x）_最大值=f（e）=me+1=-3，解得：m=-

4

e

．不合題意，
若-

1

m

＜e，此時(shí)f′（x）＞0在（0，-

1

m

）上成立，
f′（x）＜0在（-

1

m

，e]上成立，
此時(shí)f（x）在（0，e]先增后減，
∴f（x）_max=f（-

1

m

）=-1+ln（-

1

m

）=-3，
∴m=-e²，符合題意，
∴m=-e²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，是一道綜合題．