Question

已知數列{a_n}為遞增等差數列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根．數列{b_n}為等比數列，且b₁=a₂，b₄=a₅²．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）數列{a_n}為遞增等差數列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，求出公差，即可求數列{a_n}的通項公式；利用b₁=a₂，b₄=a₅²，可求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法得到前n項和．

解答： 解：（Ⅰ）∵數列{a_n}為遞增等差數列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，
∴a₂=3，a₅=9，
∴3d=6，d=2，
∴a_n=3+（n-2）×2=2n-1
又b1=a2，b4=a52，得b₁=3，b₄=81，
∴q=3，bn=3n
（Ⅱ） cn=an•bn=(2n-1)•3n
∴S_n=1•3+3•3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ…①
2S_n=1•3²+3•3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹…①
①-②得：-2Sn=1×3+2×32+2×33+…+2×3n-1+2×3n-(2n-1)×3n+1
=3+

2×32×(1-3n-1)

1-3

-(2n-1)×3n+1=-6-2(n-1)×3n+1
∴Sn=3+(n-1)×3n+1

點評：本題主要考查了等差數列性質及通項公式、求和公式的應用，屬于中檔題．