Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形， ,點為的中點.

（1）證明： ；

（2）設點在線段上，且平面，若平面平面，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：

（1）要證明線線垂直，可先證明線面垂直，由是中點，可知，又由是銳角為的菱形，可得，從而有線面垂直，再得線線垂直；

（2）與平面平行，則與平面內一條直線平行，由平面平面可得兩兩垂直，以它們為軸可建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出二面角兩個面的法向量，由法向量夾角可得二面角大小，其中在求平面法向量時，平面的一條直線的方向向量可用代替．

試題解析：

（1）連接，

因為， 所以為正三角形，又點為的中點，

所以.

又因為， 為的中點，所以.

又，

所以平面，

又平面，所以.

（2）連接交于，連接.

因為平面， 平面，平面平面，

所以，

由（1）知.

又平面平面，交線，

所以平面，

以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則， ，

設平面的一個法向量為,

可得

因為，所以 得 ，

由（Ⅰ）知平面，則取平面的一個法向量

，

故二面角的大小為.