Question

【題目】已知在函數 的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y=x垂直．
（1）求a的值和切線l的方程；
（2）設曲線y=f（x）在任一點處的切線傾斜角為α，求α的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x2﹣4x+a，由題意知，方程x2﹣4x+a=﹣1有兩個相等的根，

∴△=（﹣4）2﹣4（a+1）=0，∴a=3

此時方程x2﹣4x+a=﹣1化為x2﹣4x+4=0，得x=2，

解得切點的縱坐標為 ，

∴切線l的方程為 ，即3x+3y﹣8=0

（2）解：設曲線y=f（x）上任一點（x，y）處的切線的斜率為k（由題意知k存在），

則由（1）知k=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1≥﹣1，

∴由正切函數的單調性可得α的取值范圍為 或

【解析】（1）f′（x）=x2﹣4x+a，由題意知，方程x2﹣4x+a=﹣1有兩個相等的根，即可求a的值；求出切點坐標，可得切線l的方程；（2）由（1）知k=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1≥﹣1，即可求α的取值范圍．