Question

（本小題滿分14分）已知橢圓的左焦點為F，左右頂點分別為A,C上頂點為B，過F,B,C三點作，其中圓心P的坐標為．(1) 若FC是的直徑，求橢圓的離心率；（2）若的圓心在直線上，求橢圓的方程．

Answer 1

（1）橢圓的離心率；(2)橢圓的方程為 。

(1)由橢圓的方程知a=1,再根據,轉化為,再結合,從而可得c,進而得到e.
(II) 圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上,所以通過解FC的垂直平分線和BC的垂直平分線方程組成的方程組得到圓心P的坐標，再根據P點在直線m+n=0上，從而可建立關于b,c的方程.根據a=1，解出b,c的值，求出橢圓方程.
解：（1）由橢圓的方程知，∴點，，
設的坐標為，………………1分
∵FC是的直徑，
∴
∵ ∴ --------------------2分
∴，----------------------------------------3分
解得 --------------------------------------5分
∴橢圓的離心率--------------------6分
(2)∵過點F,B,C三點，
∴圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，
FC的垂直平分線方程為--------①
-----------7分
∵BC的中點為，

∴BC的垂直平分線方程為-----②
---------9分
由①②得，
即                       -----11分
∵P在直線上，∴  
∵ ∴          -----------------13分
由得
∴橢圓的方程為      ---------------------14分