Question

已知橢圓：的左、右頂點分別為，，為短軸的端點，△的面積為，離心率是．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若點是橢圓上異于，的任意一點，直線，與直線分別交于，兩點，證明：以為直徑的圓與直線相切于點 (為橢圓的右焦點)．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）證明：見解析。

(I)由題意可得,再根據,求出a,b的值.
(II) 以為直徑的圓與直線相切于點本質是證明：且.然后利用坐標表示出來，再根據條件把M、N的坐標求出來，證明即可.
請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.
（Ⅰ）解：由已知
解得，．  …………4分故所求橢圓方程為．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，，設橢圓右焦點．設，則．于是直線方程為，令，得；
所以，同理．
所以，.
所以
．
所以，點在以為直徑的圓上．
設的中點為，則．
又，
所以
．
所以．…………12分
因為是以為直徑的圓的半徑，為圓心，，故以為直徑的圓與直線相切于右焦點．