Question

【題目】已知點，直線，且點不在直線上.

（1）若點關于直線的對稱點為，求點坐標；

（2）求證：點到直線的距離；

（3）當點在函數圖像上時，（2）中的公式變為，

請參考該公式，求 的最小值.

Answer 1

【答案】（1） ； （2）見解析； （3）.

【解析】

（1）把握住點關于直線的對稱點的關鍵條件是垂直與平分，列出方程組求得結果；

（2）可以利用過點作直線的垂線，求兩直線的交點即垂足，再用兩點間距離公式求得結果，也可以用直角三角形斜邊上的高等于兩直角邊的乘積除以斜邊長，求得結果；

（3）設出變量，利用式子，將問題轉化為曲線上的點到直線的距離的最小值問題，結合圖形，求得結果.

（1）因為點P，Q關于直線對稱，

所以

解得所以．

（2）證法一：設，根據定義，點P到直線的距離是點

P到直線的垂線段的長，如右圖，設點P到直線的垂線為，

垂足為Q，由可知的斜率為，

所以的方程：．

與聯立方程組解得交點，

所以

所以．

可證明，當時仍成立．

綜上．

證法二：設，這時與軸、軸都相交，

過點P作軸的垂線，交于點；過點P作軸的垂線，交于點，

由得 ，

所以，＝＝ ，＝＝ ，

＝×．

由三角形面積公式可知：·＝·，

所以．

可證明，當或時仍成立．

綜上．

（3）令，

，

則表示函數圖象上的點到直線的距離，

表示函數圖象上的點到直線的距離，

所以最小值為 ．