Question

【題目】設函數f（x）= x3﹣（1+a）x2+4ax+24a，其中常數a＞1
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若當x≥0時，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x2﹣2（1+a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），

由已知a＞1，∴2a＞2，∴令f′（x）＞0，解得x＞2a或x＜2，

令f′（x）＜0，解得2＜x＜2a，

故當a＞1時，f（x）在區間（﹣∞，2）和（2a，+∞）上是增函數，在區間（2，2a）上是減函數．

（2）解：由（1）知，當x≥0時，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值．

= ，f（0）=24a．

則 即 解得1＜a＜6，

故a的取值范圍是（1，6）．

【解析】（1）先求出導函數，利用導數大于0對應的為原函數的增區間，導數小于0對應的為原函數的減區間，即可求f（x）的單調性；（2）由（1）知，當x≥0時，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值，所以須滿足最小值大于0，解不等式組 即可求a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．