Question

拋物線y²=4x焦點(diǎn)為F，過(guò)F作弦AB，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若三角形ABO面積是2

2

，則弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則利用三角形ABO面積是2

2

，可得|y₁-y₂|=4

2

，設(shè)直線AB的方程為x=my+1，代入y²=4x，求出m的值，即可求出弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|．
∵三角形ABO面積是2

2

，
∴|y₁-y₂|=4

2

，
設(shè)直線AB的方程為x=my+1，代入y²=4x得：
y²=4（1+my），即y²-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴|y₁-y₂|=

16m2+16

=4

2

，
∴m=±1，
∴y₁+y₂=±4，
∴弦AB的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為±2，可得弦AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，
∴弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是（3，2）或（3，-2）．
故答案為：（3，2）或（3，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系．在涉及焦點(diǎn)弦的問(wèn)題時(shí)常需要把直線與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理設(shè)而不求，進(jìn)而利用拋物線的定義求得問(wèn)題的答案．