Question

已知直線x+y=1與圓x²+y²=a交于A、B兩點，O是原點，C是圓上一點，若

OA

+

OB

=

OC

，則a的值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀）．聯立

x+y=1 x2+y2=a

，化為2x²-2x+1-a=0，可得x₁+x₂，y₁+y₂=2-x₁-x₂．再利用

OC

=

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（x₀，y₀）即可得出a．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀）．
聯立

x+y=1 x2+y2=a

，化為2x²-2x+1-a=0，
∵直線x+y=1與圓x²+y²=a交于A、B兩點，∴△=4-8（1-a）＞0，解得a＞

1

2

．
∴x₁+x₂=1，
∴y₁+y₂=2-x₁-x₂=1．
∴

OC

=

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（1，1）=（x₀，y₀）．．
∴a=

x

2 0

+

y

2 0

=1²+1²=2．
故答案為：2．

點評：本題考查了直線與圓相交問題、向量的坐標運算，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．