Question

設定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足：
①對于任意實數a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-p，其中p是正實常數；
②f（2）=p-1；
③當x＞1時，總有f（x）＜p．
（1）求f（1）與f（

1

2

）的值（用p表示）；
（2）設a_n=f（2ⁿ）n∈N⁺，數列{a_n}的前n項和為S_n，當且僅當n=5時，S_n取得最大值，求p的取值范圍； 
（3）設m=e^t，n=t+1（t＞0），判斷f（m）與f（n）的大小并說明理由．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用賦值法結合條件即可得到結論．
（2）根據數列的關系推導出數列的通項公式，結合等差數列的性質即可得到結論．
（3）根據函數單調性的定義，判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性；結合函數的單調性即可得到結論．

解答： 解：（1）令a=b=1，則f（1）=2f（1）-p，故f（1）=p，
又f（1）=f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）-p，且f（2）=p-1，
得f（

1

2

）=f（1）-f（2）+p=p+1；
（2）a_n=f（2ⁿ），n∈N⁺，則a_n+1=f（2ⁿ⁺¹）=f（2•2ⁿ）=f（2）+f（2ⁿ）-p=a_n-1，
則a_n+1-a_n=-1，
a₁=f（2）=p-1，
則數列{a_n}是公差為-1的等差數列，
則a_n=p-1-（n-1）=-n+p，
∵當且僅當n=5時，S_n取得最大值，
∴

a5=-5+p＞0 a6=-6+p＜0

，解得5＜p＜6，
即p的取值范圍是（5，6）； 
（3）設0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，由③知f（

x2

x1

）＜p，即f（

x2

x1

）-p＜0
f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

•x₁）-f（x₁）=[f（

x2

x1

•）+f（x₁）-p]-f（x₁）=f（

x2

x1

）-p＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上的單調遞減．
設h（t）=e^t-t-1，則h′（t）=e^t-1，當t＞0時，h′（t）＞0，
∴h（t）在（0，+∞）上的單調單調遞增，
∴e^t＞t+1，∴m＞n時，f（m）＜f（n）．

點評：本題主要考查抽象函數的應用，利用賦值法是解決抽象函數的基本方法，綜合考查函數的性質是應用．