Question

【題目】如圖1，在矩形PABC中，AB＝2BC＝4，D為PC的中點，以AD為折痕將△PAD折起，折到如圖2的位置，使得PB＝2．

（1）求證：AP⊥平面PBD

（2）求平面PCD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）通過計算可以發現AP2+BP2＝AB2，則AP⊥BP，進而容易得證；

（2）解題的關鍵是證明平面ABD⊥平面APD，進而可得OP⊥平面ABD，從而建立空間直角坐標系O﹣xyz，由此得解．

（1）由于在矩形PABC中，AB＝2BC＝4，D為PC的中點，以AD為折痕將△PAD折起，折到如圖2的位置，使得PB＝2，所以，

由于AP2+BP2＝AB2，所以AP⊥BP，

又AP⊥PD，BP∩PD＝D，且BP，PD都在平面PBD中，

所以AP⊥平面PBD．

（2）取AD的中點O，則AO＝OD＝OP，，連接PO，BD，則，

∵AB＝4，∴AB2＝AD2+BD2，即AD⊥BD，

又由（1）知，BD⊥AP，∴BD⊥平面APD，∴平面ABD⊥平面APD，

顯然，OP⊥AD，OP⊥平面ABD，

過點O作直線OM∥BD，則OM⊥AD，故建立如圖所示空間直角坐標系O﹣xyz，

則，，

設平面PCD的法向量為，

則，即，令y＝z＝1，則x＝﹣1，故，

設平面PBC的法向量為，

則，即，令x＝y＝1，則z＝3，故，

∴，

∴平面PCD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為．