Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知，若線段FP的中垂線l與拋物線C：總是相切．

（1）求拋物線C的方程；

（2）若過點Q（2，1）的直線l′交拋物線C于M，N兩點，過M，N分別作拋物線的切線相交于點A．分別與y軸交于點B，C．

（ i）證明：當變化時，的外接圓過定點，并求出定點的坐標 ；

（ ii）求的外接圓面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）.

【解析】

（1）根據F（2，0），P（﹣2，t）得FP的中點為（0，），，討論t的值，當t≠0時，求出線段FP的中垂線l，代入拋物線方程y2＝2px，即可求解.

（2）設過點Q（2，1）的直線l′的方程為x﹣2＝m（y﹣1），代入拋物線的方程y2＝8x，

求出y1+y2＝8m，y1y2＝8m﹣16，對y2＝8x兩邊求導得2yy′＝8，即y′，求出處的切線方程，再求出，設出外接圓的方程即可求出定點；由上一問可求出半徑，配方求半徑的最小值即可求解.

（1）F（2，0），P（﹣2，t），可得FP的中點為（0，），

當t＝0時，FP的中點為原點，

當t≠0時，直線FP的斜率為，線段FP的中垂線l的斜率為，

可得中垂線l的方程為yx，代入拋物線方程y2＝2px，

可得x2+（4﹣2p）x0，

由直線和拋物線相切可得△＝（4﹣2p）2﹣16＝0，解得p＝4，

則拋物線的方程為y2＝8x；

（2）（i）證明：可設過點Q（2，1）的直線l′的方程為x﹣2＝m（y﹣1），即x＝my+2﹣m，

代入拋物線的方程y2＝8x，可得y2﹣8my﹣16+8m＝0，

設M（，y1），N（，y2），則y1+y2＝8m，y1y2＝8m﹣16，

由y2＝8x，兩邊對x求導可得2yy′＝8，即y′，

可得M處的切線方程為y﹣y1（x），化為y1y＝4x，①

同理可得N處的切線方程為y2y＝4x，②

由①②可得y4m，xm﹣2，即A（m﹣2，4m），

又l1，l2分別與y軸交于點B（0，），C（0，），

設過A，B，C的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，（D2+E2﹣4F＞0），

即有

結合y1+y2＝8m，y1y2＝8m﹣16，可得D＝﹣m﹣2，E＝﹣4m，F＝4m﹣8，

可得△ABC的外接圓方程為x2+y2﹣（m+2）x﹣4my+4m﹣8＝0，

可得m（4﹣x﹣4y）+（x2+y2﹣2x﹣8）＝0，

由可得或，

則當l′變化時，△ABC的外接圓過定點（4，0）和（，）；

（ii）△ABC的外接圓的半徑

r，

可得當m時，r的最小值為，

則△ABC的外接圓面積的最小值為π．