Question

甲、乙兩人玩一種游戲：甲從放有x個紅球、y個白球、z個（x，y，z≥1，x+y+z=10）黃球的箱子中任取一球，乙從放有5個紅球、3個白球、2個黃球的箱子中任取一球． 規(guī)定：當(dāng)兩球同色時為甲勝，當(dāng)兩球異色時為乙勝．
（1）用x，y，z表示甲勝的概率；
（2）假設(shè)甲勝時甲取紅球、白球、黃球的得分分別為1分、2分、3分，甲負時得0分，求甲得分?jǐn)?shù)ξ的概率分布，并求E（ξ）最小時的x，y，z的值．

Answer 1

分析：（1）甲取紅球、白球、黃球的概率分別為

x

10

，

y

10

，

z

10

，乙取紅球、白球、黃球的概率分別為

5

10

，

3

10

，

2

10

，由此能求出甲勝的概率．
（2）由題設(shè)知ξ=0，1，2，3，分別求出對應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）_min．

解答：解：（1）甲取紅球、白球、黃球的概率分別為

x

10

，

y

10

，

z

10

，
乙取紅球、白球、黃球的概率分別為

5

10

，

3

10

，

2

10

，
故甲勝的概率P=

5x

100

+

3y

100

+

2z

100

=

1

100

(5x+3y+2z)．
（2）由題設(shè)知ξ=0，1，2，3，從而ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1- 5x+3y+2z 100	5x 100	3y 100	2z 100

由x+y+z=10，得Eξ=

1

100

（5x+6y+6z）=

1

100

（60-x），
由x，y，z≥1，知1≤x≤8，
故當(dāng)x=8，y=z=1時，E（ξ）_min=

13

25

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．