Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2

2

，側棱長為4．
（1）求證：平面AB₁C⊥平面BDD₁B₁；
（2）求D₁到面AB₁C的距離；
（3）求三棱錐D₁-ACB₁的體積V．

Answer 1

分析：（1）由BD⊥AC，BB₁⊥AC，BD∩BB₁=B?AC⊥平面BDD₁B₁?平面AB₁C⊥平面BDD₁B₁；
（2）設AC、BD交與點O，連接B₁O．點D₁作D₁H⊥B₁O，則D₁H即為所求D₁到面AB₁C的距離；
（3）利用（2）找到的高，再求出底面面積，代入體積計算公式即可．

解答：（1）證明：∵BD⊥AC，BB₁⊥AC，BD∩BB₁=B，∴AC⊥平面BDD₁B₁，
又因為AC?平面B₁EF，所以平面AB₁C⊥平面BDD₁B₁；
（2）解：連接AC、BD交與點O，連接B₁O．
過點D₁作D₁H⊥B₁O，則D₁H即為所求．
在△B₁D₁O中，由正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
底面邊長為2

2

，側棱長為4．
可得D₁O=B₁O=

DD2+DO2

=

20

=2

5

，B₁D₁=4
∴cos∠D₁B₁O=

42+( 20 ) 2-( 20 )2

2×4× 20

=

20

10

，
∴

B1H

B1D1

=

20

10

=

2 5

5

?B₁H=

2 20

5

?D1H=

8

5

5

．
即D₁到面AB₁C的距離為

8 5

5

．
（3）解：V=

1

3

S△AB1C•D1H=

1

3

•

1

2

•4•2

5

•

8

5

5

=

32

3

．
所以三棱錐D₁-ACB₁的體積為

32

3

．

點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質以及點到面的距離和三棱錐的體積計算公式．是對立體幾何知識的綜合考查．