Question

在數列中，對于任意，等式：恒成立，其中常數．
（1）求的值；
（2）求證：數列為等比數列；
（3）如果關于的不等式的解集為，試求實數的取值范圍．

Answer 1

（1），；（2）只需求出即可；（3）。

解析試題分析：（Ⅰ）　因為，
所以，，
解得 ，．                3分
（Ⅱ）當時，由，   ①
得，           ②
將①，②兩式相減，得,
化簡，得，其中．         5分
因為，
所以，其中．           6分
因為 為常數，
所以數列為等比數列．            8分
（Ⅲ）　　由（Ⅱ）得，                 9分
所以
，
又因為，所以不等式
可化簡為，
∵，∴原不等式               11分
由題意知，不等式的解集為，
因為函數在上單調遞增，
所以只要求 且即可，
解得．                 14分
考點：等比數列的性質；數列通項公式的求法；數列求和；數列的綜合應用；恒成立問題；指數函數的單調性。
點評：（1）解此題的關鍵是通過證明數列是等比數列，從而求出數列的通項公式。（2）解決恒成立問題常用的方法是分離參數法。