Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD、ADEF、ABGF均為全等的直角梯形，且BC∥AD，AB=AD=2BC．
（Ⅰ）求證：CE∥平面ABGF；
（Ⅱ）求二面角G-CE-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)BF，結(jié)合題意證出四邊形BCEF是平行四邊形，得CE∥BF．再利用線面平行判定定理，即可證出CE∥平面ABGF．
（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=AD=AF=2，得BC=EF=1從而得出C、D、E、G的坐標(biāo)，得出向量

CD

、

CE

、

CG

的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法算出

m

=（1，2，1）是平面CDE的一個法向量，

n

=（1，1，1）是平面CEG的一個法向量，利用空間向量的夾角公式加以計算，即可得出二面角G-CE-D的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）連結(jié)BF，由題意得
∵BC∥AD且BC=

1

2

AD，EF∥AD且EF=

1

2

AD，
∴四邊形BCEF是平行四邊形，得CE∥BF．
又∵CE?平面ABGF，BF?平面ABGF，
∴CE∥平面ABGF．
（II）分別以AB、AD、AF為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
設(shè)AB=AD=AF=2，可得BC=EF=1
可得C（2，1，0），D（0，2，0），E（0，1，2），G（1，0，2）
∴

CD

=（-2，1，0），

CE

=（-2，0，2）
設(shè)

m

=（x，y，z）是平面CDE的一個法向量，
可得

m • CD =-2x+y=0 m • CE =-2x+2z=0

，取x=1，得y=2，z=1
∴

m

=（1，2，1），同理得到

n

=（1，1，1）是平面CEG的一個法向量
∵cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m| • |n|

=

1×1+2×1+1×1

6 • 3

=

2 2

3

∴結(jié)合題意二面角G-CE-D是鈍二面角，可得二面角G-CE-D的余弦值為-

2 2

3

．

點評：本題求證線面平行，并求二面角的大小．著重考查了線面平行判定定理、利用空間坐標(biāo)系研究二面的大小等知識，屬于中檔題．