Question

（2012•朝陽區一模）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EF=1，BC=

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，且M是BD的中點．
（Ⅰ）求證：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）在EB上是否存在一點P，使得∠CPD最大？若存在，請求出∠CPD的正切值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）取AD的中點N，連接MN，NF．利用三角形中位線定理，結合已知條件證出四邊形MNFE為平行四邊形，可得EM∥FN，結合線面平行的判定定理，得到EM∥平面ADF．
（II）假設在EB上存在一點P，使得∠CPD最大．由線面垂直的判定與性質，證出CD⊥平面EBD．可得Rt△CPD中，當DP的長最短時∠CPD最大，此時P與重合時，由直角三角形三角函數的定義，可得∠CPD的正切值．

解答：解：（Ⅰ）取AD的中點N，連接MN，NF．
在△DAB中，M是BD的中點，N是AD的中點，
∴MN∥AB，MN=

1

2

AB．
又∵EF∥AB，EF=

1

2

AB，∴MN∥EF且MN=EF，∠CPD最大
∴四邊形MNFE為平行四邊形，可得EM∥FN．
又∵FN?平面ADF，EM?平面ADF，
∴EM∥平面ADF．…（6分）
（Ⅱ）假設在EB上存在一點P，使得∠CPD最大．
∵EB⊥平面ABD，CD⊆平面ABD，∴EB⊥CD．
又∵CD⊥BD，EB∩BD=B，∴CD⊥平面EBD．…（8分）
在Rt△CPD中，tan∠CPD=

CD

DP

．
∵CD為定值，且∠CPD為銳角，
∴要使∠CPD最大，只要DP最小即可．顯然，當DP⊥EB時，DP最小．
因此DB⊥EB，所以當點P在點B處時，使得∠CPD最大．…（11分）
Rt△PCD中，tan∠CPD=

CD

BD

=

2

3

．
所以在EB上存在一點P，使得∠CPD最大，且∠CPD的正切值為

2

3

．…（13分）

點評：本題在特殊多面體中，求證線面平行并探索兩直線所成角的最大值，著重考查了線面垂直的判定與性質、線面平行的判定和直角三角形中三角函數定義等知識，屬于中檔題．