Question

在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）線段ED上是否存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC？證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，再利用已知AC⊥FB和線面垂直的判定定理即可證明；
（II）通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量是否垂直即可．

解答：（Ⅰ）證明：∵AB=2BC，∠ABC=60°，
在△ABC中，由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos60°=3BC²，
∴AC²+BC²=4BC²=AB²，∴∠ACB=90°．
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，FB∩BC=B，
∴AC⊥平面FBC．
（Ⅱ）
線段ED上不存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC．
證明如下：
因為AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC．
因為CD⊥FC，所以FC⊥平面ABCD．
所以CA，CF，CB兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角坐標系C-xyz．
在等腰梯形ABCD中，可得 CB=CD．
設BC=1，所以C(0，0，0)，A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，E(

3

2

，-

1

2

，1)．
所以

CE

=(

3

2

，-

1

2

，1)，

CA

=(

3

，0，0)，

CB

=(0，1，0)．
設平面EAC的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • CE =0 n • CA =0

，
所以

3 2 x- 1 2 y+z=0 3 x=0

取z=1，得

n

=（0，2，1）．
假設線段ED上存在點Q，設Q(

3

2

，-

1

2

，t)(0≤t≤1)，所以

CQ

=(

3

2

，-

1

2

，t)．
設平面QBC的法向量為

m

=（a，b，c），則

m • CB =0 m • CQ =0

所以

b=0 3 2 a- 1 2 b+tc=0

取c=1，得

m

=(-

2t

3

，0，1)．
要使平面EAC⊥平面QBC，只需

m

•

n

=0，
即 -

2

3

t×0+0×2+1×1=0，此方程無解．
所以線段ED上不存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC．

點評：本題綜合考查了線面、面面垂直的判定定理與性質定理、通過距離空間直角坐標系利用兩個平面的法向量解決面面垂直等基礎知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．