Question

在如圖所示的幾何體中，平行四邊形ABCD的頂點都在以AC為直徑的圓O上，AD=CD=DP=a，AP=CP=

2

a，DP∥AM，且AM=

1

2

DP，E，F分別為BP，CP的中點．
（I）證明：EF∥平面ADP；
（II）求三棱錐M-ABP的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明：EF∥平面PAD，根據線面平行的判定定理可知，只需證明EF∥AD即可．
（Ⅱ）求三棱錐M-ABP的體積V，轉化為求三棱錐P-ABM的體積．只需求出底面△ABM的面積，再求出P到底面的距離，即可．

解答：解：（I）證明：∵AC是圓O的直徑，
∴∠ADC為直角，即CD⊥AD （1分）
∵AD=CD=a，∴平行四邊形是ABCD正方形，∴BC∥AD   
在△PBC中，E，F分別是PB，
PC的中點，∴EF∥BC．
又BC∥AD，∴EF∥AD，
又∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（II）∵AD²+DP²=AP²，∴∠ADP是直角，∴DP⊥AD，（7分）
同理DP⊥CD
∴DP⊥平面 ABCD （8分）
∵DP∥AM，∴AM⊥平面ABCD，（9分）
∴AM⊥AD，又∴AB⊥AD
∴AD⊥平面ABM，（10分）
∴點D到平面ABM的距離AD，即為點P到平面ABM的距離，
在直角三角形ABM中，S_△ABM=

1

2

AB•AM=

1

4

a2 （11分）
∴V_P-ABM=

1

3

 S_△ABM•AD=

1

3

×

1

4

a²•a=

1

12

a3   （13分）
∴V _M-ABP=V _P-ABM=

1

12

a3．（14分）

點評：本題考查證明線面平行的方法，三棱錐的體積公式，根據線面平行的判定定理是解題的關鍵．