Question

【題目】某校為擴(kuò)大教學(xué)規(guī)模，從今年起擴(kuò)大招生，現(xiàn)有學(xué)生人數(shù)為人，以后學(xué)生人數(shù)年增長率為.該校今年年初有舊實(shí)驗(yàn)設(shè)備套，其中需要換掉的舊設(shè)備占了一半.學(xué)校決定每年以當(dāng)年年初設(shè)備數(shù)量的的增長率增加新設(shè)備，同時(shí)每年淘汰套舊設(shè)備.

（1）如果10年后該校學(xué)生的人均占有設(shè)備的比率正好比目前翻一番，那么每年應(yīng)更換的舊設(shè)備是多少套？

（2）依照（1）的更換速度，共需多少年能更換所有需要更換的舊設(shè)備？

下列數(shù)據(jù)提供計(jì)算時(shí)參考：

Answer 1

【答案】（1）套；（2）16年

【解析】

（1）10年后學(xué)生人數(shù)為，設(shè)今年起學(xué)校的合格實(shí)驗(yàn)設(shè)備為數(shù)列，然后可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，然后求出即可算出答案.

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，直接算出即可

（1）今年學(xué)生人數(shù)為人，則10年后學(xué)生人數(shù)為，

設(shè)今年起學(xué)校的合格實(shí)驗(yàn)設(shè)備為數(shù)列

則，

令，則

所以，即

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列

所以，即

所以

由題意得，解得.∴每年應(yīng)更換的舊設(shè)備為套.

（2）全部更換舊設(shè)備共需年.

答：（1）每年應(yīng)更換的舊設(shè)備為套.

（2）按此速度全部更換舊設(shè)備共需16年.