Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為、，為橢圓上異于長軸端點的點，且的最大面積為.

（1）求橢圓的標準方程

（2）若直線是過點點的直線，且與橢圓交于不同的點、，是否存在直線使得點、到直線，的距離、，滿足恒成立，若存在，求的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且.

【解析】

（1）根據題意列出有關、、的方程組，求出這三個量的值，即可得出橢圓的標準方程；

（2）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓方程聯立，并列出韋達定理，由，得出，通過化簡計算并代入韋達定理計算出的值，即可得出直線的方程，即可說明直線的存在性.

（1）設橢圓的焦距為，且的最大面積為，則，

由已知條件得，解得，因此，橢圓的標準方程為；

（2）當直線不與軸重合時，設直線的方程為，設點、，

將直線的方程與橢圓方程聯立，消去并整理得，

，

由韋達定理得，.

，即，即，

整理得；

當直線與軸重合時，則直線與橢圓的交點為左、右頂點，設點、，

，，由，得，解得.

綜上所述，存在直線，使得.