Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）恒成立，等價于時，；當時，，令，注意，對分類討論求出單調(diào)性即可求解；

（2）求，得到的單調(diào)區(qū)間，進而求出兩零點的范圍是，利用（1）的結(jié)論，，可得，再由在減函數(shù)，可得，得到，建立不等量關(guān)系，即可證明結(jié)論.

（1）由題意可得的定義域為，

恒成立，即恒成立，

當時，即；當時，即，

構(gòu)造函數(shù)，

，

令，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

當時，，則單調(diào)遞增，故滿足題意，

當時，，

方程有兩個不相等的正根，，

由于，所以，因此在單調(diào)遞增，

在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

因此，，不滿足題意，

綜上：.

（2）由（1）可得，，

令，，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以，，

又，

，

所以在和各存在一個零點，由題設(shè)可知，

因此，則…①，

因為在單調(diào)遞減，因此，

即，

所以…②，

由①②可得：，

化簡可得.