Question

【題目】已知橢圓的焦點為和，過的直線交于，兩點，過作與軸垂直的直線交直線于點．設，已知當時，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：無論如何變化，直線過定點．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析．

【解析】

（Ⅰ）根據橢圓定義和線段長度關系可知在軸上，由此求得，代入橢圓方程即可求得，進而得到橢圓方程；

（Ⅱ）將直線：代入橢圓方程可得韋達定理的形式，從而得到，從而化簡得到直線的斜率，得到方程為，從而得到定點.

（Ⅰ）設橢圓方程為，其中，

時，不妨設，則，

，，由橢圓定義得：，，

故此時點在軸上，不妨設，則，

代入橢圓方程，解得：，，

故所求橢圓方程為．

（Ⅱ）直線過定點，證明如下：

設直線方程為：，

代入橢圓中得：，即，

設，，

則，，，

由題設知：，直線斜率：，

直線方程為，化簡得：，故直線恒過．