Question

【題目】設集合.如果對于的每一個含有個元素的子集， 中必有4個元素的和等于，稱正整數為集合的一個“相關數”.

（Ⅰ）當時，判斷5和6是否為集合的“相關數”，說明理由；

（Ⅱ）若為集合的“相關數”，證明： ；

（Ⅲ）給定正整數.求集合的“相關數” 的最小值.

Answer 1

【答案】（1）不是, 是（2）見解析(3)

【解析】試題分析：（Ⅰ）由可得及，對于個元素的子集可以舉出反例可證含有個元素的子集只有，滿足題意；（Ⅱ）首先考察集合的含有個元素的子集，證明當時， 一定不是集合的“相關數”，可得結果；（Ⅲ）先將集合的元素分成如下組： ，再將集合的元素剔除和后，分成如下組： ，可得兩者中同屬對于的一個含有個元素的子集中至少一組無相同元素，可得結果.

試題解析：（Ⅰ）當時， ， ．①對于的含有個元素的子集，因為，所以不是集合的“相關數”．

②的含有個元素的子集只有，因為，

所以是集合的“相關數”．

（Ⅱ）考察集合的含有個元素的子集．

中任意個元素之和一定不小于．

所以一定不是集合的“相關數”．

所以當時， 一定不是集合的“相關數”．

因此若為集合的“相關數”，必有．

即若為集合的“相關數”，必有．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ．先將集合的元素分成如下組：

．對的任意一個含有個元素的子集，必有三組同屬于集合．再將集合的元素剔除和后，分成如下組：

．對于的任意一個含有個元素的子集，必有一組屬于集合．這一組與上述三組中至少一組無相同元素，

不妨設與無相同元素．此時這個元素之和為．所以集合的“相關數”的最小值為．