Question

已知等比數列{x_n}的各項為不等于1的正數，數列{y_n}滿足y_n·a=2(a＞0且a≠1)，y₄=17，y₇=11．

(Ⅰ)試問：數列{y_n}的前多少項的和最大?最大值是多少?

(Ⅱ)設b_n=，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求S_n；

(Ⅲ)試判斷，是否存在正整數M，使當n＞M時，x_n＞1恒成立，若存在，求出相應的M，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)設x_n=x₁q^n-1(x₁＞0且x₁≠1,q＞0)

由y_n==2log_ax_n

得y_n+1-y_n=2log_ax_n+1-2log_ax_n=2log_a=2log_aq(常數)

∴數列{y_n}是等差數列 

由y₄=17，y₇=11得y_n=25-2n

令        得≤n＜     ∵n∈N^*， ∴n=12

∴數列{y_n}前12項和最大

現T_n為數列{y_n}的前n項和，則T₁₂==144

(Ⅱ)由(Ⅰ)知b_n=2^25-2n   ∴b₁=2²³，

∴{b_n}是以2²³為首項，以為公比的等比數列 ∴S_n= b₁+b₂+…+b_n=[1-()ⁿ]

(Ⅲ)由y_n=2log_ax_n得x_n=

由(Ⅰ)知，當n＞12時y_n＜0恒成立

1°當0＜a＜1且n＞12時，有x_n=＞a°=1

2°當a＞1且n＞12時，有x_n＜1

故當0＜a＜1時存在M=12使得當n＞M時，x_n＞1恒成立

當a＞1時不存在M，使得當n＞M時，x_n＞1恒成立.