Question

（2010•廣東模擬）已知等比數列{x_n}的各項為不等于1的正數，數列{y_n}滿足

yn

logaxn

=2（a＞0，且a≠1），設y₃=18，y₆=12．
（1）數列{y_n}的前多少項和最大，最大值是多少？
（2）試判斷是否存在自然數M，使得n＞M時，x_n＞1恒成立，若存在，求出最小的自然數M，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由數列{y_n}滿足

yn

logaxn

=2（a＞0，且a≠1），知y_n=2log_ax_n，y_n+1=2log_ax_n+1，則y_n+1-y_n=2（log_ax_n+1-log_ax_n）=2log_a（

xn+1

xn

）．由{x_n}為等比數列，知{y_n}為等差數列．由y₃=18，y₆=12，得S_n=22n+

n(n-1)

2

•（-2）=-n²+23n．數列{y_n}的前多少項和最大和相應的最大值是多少．
（2）由y_n=22+（n-1）（-2）=2log_ax_n，知x_n=a^12-n．又x_n=a^12-n＞1，由此能夠導出當0＜a＜1時，存在M=12，當n＞M時，x_n＞1恒成立．

解答：解：（1）∵數列{y_n}滿足

yn

logaxn

=2（a＞0，且a≠1），
∴y_n=2log_ax_n，y_n+1=2log_ax_n+1，
則y_n+1-y_n=2（log_ax_n+1-log_ax_n）=2log_a（

xn+1

xn

）．
∵{x_n}為等比數列，
∴

xn+1

xn

為定值．
∴{y_n}為等差數列．
∵y₃=18，y₆=12，
∴y₆-y₃=3d=12-18，
∴d=-2，y₁=y₃-2d=22．
∴S_n=22n+

n(n-1)

2

•（-2）=-n²+23n．
∴當n=11或n=12時，S_n取得最大值，且最大值為132．
（2）∵y_n=22+（n-1）（-2）=2log_ax_n，
∴x_n=a^12-n．又x_n=a^12-n＞1，
當a＞1時，12-n＞0，n＜12；
當0＜a＜1時，12-n＜0，n＞12．
綜上所述，當0＜a＜1時，存在最小的自然數M=12，使得當n＞M時，x_n＞1恒成立．

點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．