Question

已知等比數列{x_n}的各項為不等于1的正數，數列{y_n}滿足ynlogxna=2(a＞0，a≠1)，設y₃=18，y₆=12．
（1）求數列{y_n}的前多少項和最大，最大值為多少？
（2）試判斷是否存在自然數M，使當n＞M時，x_n＞1恒成立？若存在，求出相應的M，若不存在，請說明理由；
（3）令an=logxnxn+1(n＞13，n∈N)，試判斷數列{a_n}的增減性？

Answer 1

分析：（1）先根據等差數列的定義判定數列{y_n}，然后根據y₃=18，y₆=12可求出首項和公差，設前k項為最大，則

yk+1≤0 yk≥0

，可求出k的值，從而求出所求；
（2）討論a與1的大小，然后解指數不等式，從而求出適合條件的M；
（3）先求出數列{a_n}的通項公式，然后判定a_n+1-a_n的符號，可得數列的單調性．

解答：解：（1）由已知得：y_n=2log_ax_n設等比數列{x_n}的公比為q（q≠1）
由yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga

xn+1

xn

=2logaq得{y_n}為等差數列，設公差為d
∵y₃=18，y₆=12，∴d=-2；∴y_n=y₃+（n-3）d=24-2n
設前k項為最大，則

yk+1≤0 yk≥0

⇒11≤k≤12y₁₂=0
∴前11項和前12項和為最大，其和為132
（2）x_n=a^12-n，n∈N^*?；若x_n＞1，則a^12-n＞1?
當a＞1時，n＜12，顯然不成立；當0＜a＜1時，n＞12
∴存在M=12，13，14，…，?當n＞M時，x_n＞1
（3）a_n=logxnxn+1=lo

g

12-n a

a12-(n+1)=

n-11

n-12

∵an+1-an=

n-10

n-11

-

n-11

n-12

=

-1

(n-11)(n-12)

＜0
∴a_n+1＜a_n∴n＞13時數列{a_n}為遞減數列

點評：本題主要考查了等差數列的判定，以及恒成立問題和數列單調性的判定，屬于中檔題．