Question

對任意實數a，b，函數F(a，b)=

1

2

(a+b-|a-b|)．如果函數f（x）=sinx，g（x）=cosx，那么對于函數G（x）=F（f（x），g（x））．對于下列五種說法：
（1）函數G（x）的值域是[-

2

，2]；
（2）當且僅當2kπ+

π

2

＜x＜2(k+1)π(k∈Z)時，G（x）＜0；
（3）當且僅當x=2kπ+

π

2

(k∈Z)時，該函數取最大值1；
（4）函數G（x）圖象在[

π

4

，

9π

4

]上相鄰兩個最高點的距離是相鄰兩個最低點的距離的4倍；
（5）對任意實數x有G(

5π

4

-x)=G(

5π

4

+x)恒成立．
其中正確結論的序號是

（2）（4）（5）

．

Answer 1

分析：由已知可得：G（x）=|）=

sinx，- 3π 4 +2kπ＜x＜ π 4 +2kπ cosx， π 4 +2kπ≤x＜ 5π 4 +2kπ

（k∈Z），逐一分析5個結論的真假，可得答案．

解答：解：∵f（x）=sinx，g（x）=cosx，
∴G（x）=F（f（x），g（x））=

1

2

（sinx+cosx-|sinx-cosx|）=

sinx，- 3π 4 +2kπ＜x＜ π 4 +2kπ cosx， π 4 +2kπ≤x＜ 5π 4 +2kπ

（k∈Z），
函數G（x）的值域是[-

2

2

，1]．故（1）錯誤，
當且僅當2kπ+

π

2

＜x＜2(k+1)π(k∈Z)時，G（x）＜0，故（2）正確；
當且僅當x=2kπ+

π

2

(k∈Z)或x=2kπ（k∈Z）時，該函數取最大值1，故（3）錯誤
函數G（x）圖象在[

π

4

，

9π

4

]上相鄰兩個最高點的距離是相鄰兩個最低點的距離的4倍，正確；
對任意實數x有G(

5π

4

-x)=G(

5π

4

+x)恒成立，正確．
故答案為：（2）（4）（5）

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了三角函數的圖象和性質，熟練掌握三角函數的圖象和性質是解答的關鍵．