Question

下列命題正確的有（　　）
①對任意實數a、b，都有|a+b|+|a-b|≥2a
②函數y=x

1-x2

（0＜x＜1）的最大函數值為

1

2

；
③對a∈R，不等式|x|＜a的解集可表示為{x|-a＜x＜a}；
④若AB≠0，則lg

|A|+|B|

2

≥

lg|A|+lg|B|

2

．

A．①②④

B．③④

C．②③

D．①④

Answer 1

分析：①根據絕對值不等式來判斷．②利用基本不等式或二次函數的性質判斷．③利用絕對值不等式的解法判斷．④利用基本不等式以及對數函數的單調性判斷．

解答：解：①根據絕對值不等式的性質可知對任意實數a、b，都有|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|≥2a，所以①正確．
②因為0＜x＜1，所以y=x

1-x2

≤

x2+1-x2

2

=

1

2

，當且僅當x=

1-x2

，解得2x²=1，x=

2

2

時取等號，所以②正確．
③當a≤0時，不等式|x|＜a的解集為空集，所以③錯誤．
④因為

|A|+|B|

2

≥

|A|?|B|

，所以lg

|A|+|B|

2

≥lg

|A|?|B|

=

lg|A|+lg|B|

2

所以④正確．
故正確的是①②④．
故選A．

點評：本題主要考查了命題的真假判斷以及不等式的解法和應用．