Question

【題目】已知函數，其中為常數.

若曲線在處的切線在兩坐標軸上的截距相等，求的值；

若對，都有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）求出切點坐標，寫出切線方程，利用切線在兩坐標軸上的截距相等，求得a即可．

（2）對a分類討論，易判斷當或當時，在區間內是單調的，根據單調性得出結論，當時，在區間內單調遞增，在區間內單調遞減， 故，又因為，成立.而的最大值為，將最大值構造新函數，通過導函數的符號判斷函數的單調性求解函數的最值，然后求解結果．

求導得，所以.

又，所以曲線在處的切線方程為.

由切線在兩坐標軸上的截距相等，得，解得即為所求.

對，，所以在區間內單調遞減.

①當時，，所以在區間內單調遞減，故，由恒成立，得，這與矛盾，故舍去.

②當時，，所以在區間內單調遞增，故，即，由恒成立得，結合得.

③當時，因為，，且在區間上單調遞減，結合零點存在定理可知，存在唯一，使得，且在區間內單調遞增，在區間內單調遞減.

故，由恒成立知，，，所以.

又的最大值為，由得，

所以.

設，則，所以在區間內單調遞增，于是，即.所以不等式恒成立.

綜上所述，所求的取值范圍是.