Question

已知函數f（x）=ln|x|，（x≠0），函數g（x）=

1

f′(x)

+af′（x），a∈R．
（1）求函數y=g（x）的表達式和單調區間；
（2）若a＞0，函數y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數解析式的求解及常用方法,函數單調性的判斷與證明

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求函數的導數，根據函數單調性和導數之間的關系即可，求函數y=g（x）的表達式和單調區間；
（2）根據基本不等式求出函數的最小值，建立方程關系即可得到結論．

解答： （Ⅰ）∵f（x）=ln|x|，
∴當x＞0時，f（x）=lnx； 當x＜0時，f（x）=ln（-x），
∴當x＞0時，f′（x）=

1

x

； 當x＜0時，f′（x）=

1

-x

•(-1)=

1

x

．
∴當x≠0時，函數g（x）=

1

f′(x)

+af′（x）=x+

a

x

；
則g′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，
若a≤0，則g′（x）≥0；此時函數單調遞增，即函數的增區間為（0，+∞），（-∞，0）．
若a＞0，由g′（x）≥0，解得x≥

a

或x≤-

a

，即函數的增區間為（

a

，+∞），（-∞，-

a

）．
由g′（x）≤0，解得-

a

≤x＜0或0＜x≤

a

，即函數的減區間為[-

a

，0），（0，

a

]．
（Ⅱ）∵由（1）知當x＞0時，g（x）=x+

a

x

，
∴當a＞0，x＞0時，g（x）=x+

a

x

≥2

a

，當且僅當x=

a

時取等號．
∴函數y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2

a

=2，
即

a

=1，得a=1．

點評：本題主要考查函數單調區間的求解，利用函數單調性和導數之間的關系是解決本題的關鍵．