Question

已知平面向量

a

=（

3

，1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．若存在不同時為零的實數k和t，使

x

=

a

+（t²-3）

b

，

y

=-k

a

+t

b

且

x

⊥

y

．
（1）試求函數關系式k=f（t）；
（2）若t∈（0，+∞）時，不等式k≥

1

2

t²+

1

4

mt恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數解析式的求解及常用方法,數量積判斷兩個平面向量的垂直關系

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據平面向量的數量積關系即可試求函數關系式k=f（t）；
（2）利用參數分離法將不等式k≥

1

2

t²+

1

4

mt恒成立進行轉化，利用二次函數的圖象和性質，即可求實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）由題知：|

a

|=2，|

b

|=1，

a• b

=0-----------------------（2分）
∵

x

⊥

y

，則

x

•

y

=[

a

+(t2-3)

b

]•(-k

a

+t

b

)=0，
整理可得：-k

a

2+t

a

•

b

-k(t2-3)

a

•

b

+t(t2-3)

b

2=-k

a

2+t(t2-3)

b

2=-4k+t(t2-3)=0，
∴k=

1

4

t(t2-3)(t≠0)．
（2）∵當t∈(0，+∞)時，不等式k≥

1

2

t2+

1

4

mt恒成立
∴

1

4

t(t2-3)≥

1

2

t2+

1

4

mt在t∈(0，+∞)上恒成立
即m≤t²-2t-3=（t-1）²-4在t∈（0，+∞）上恒成立，
∴m≤-4，
即實數m的取值范圍是（-∞，-4]．

點評：本題主要考查函數恒成立問題已經數量積的應用，利用參數分離法是解決函數恒成立問題的基本方法．