Question

【題目】已知函數f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．
（1）若函數f（x）在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍；
（2）令g（x）=f（x）﹣x2 ， 是否存在實數a，當x∈（0，e]（e是自然常數）時，函數g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；
（3）求證：當x∈（0，e]時，e2x2﹣ x＞（x+1）lnx．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）在[1，2]上是減函數，∴f′（x）≤0在[1，2]上恒成立．

又f′（x）=2x+a﹣ = ，令h（x）=2x2+ax﹣1，

∴ ，解得a≤﹣

（2）解：∵f（x）=x2+ax﹣lnx，

∴g（x）=f（x）﹣x2=ax﹣lnx，x∈（0，e]．

∴g′（x）=a﹣ = （0＜x≤e），

①當a≤0時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a= （舍去）；

②當0＜ ＜e時，g（x）在（0， ）上單調遞減，在（ ，e]上單調遞增，

∴g（x）min=g（ ）=1+lna=3，解得a=e2，滿足條件；

③當 ≥e時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a= （舍去）；

綜上，存在實數a=e2，使得當x∈（0，e]時，g（x）有最小值3

（3）證明：令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）得F（x）min=3，

令ω（x）= + ，ω′（x）= ，

當0＜x≤e時，ω′（x）≥0，ω（x）在（0，e]遞增，

∴ω（x）max=ω（e）=3

故e2x﹣lnx＞ + ，即e2x2﹣ x＞（x+1）lnx

【解析】（1）求出函數的導數，結合函數的單調性得到關于a的不等式組，解出即可；（2）由g（x）=f（x）﹣x2=ax﹣lnx，x∈（0，e]，求出g（x）的導數，依題意，通過對a≤0、0＜ ＜e、及 ≥e的討論，即可作出正確判斷；（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min=3，令φ（x）= + ，證明F（x）min＞φ（x）max即可；