Question

【題目】函數f（x）=ax﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是（ ）
A.1＜a＜e
B.1＜a＜e
C.0＜a＜e
D.e ＜a＜e

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=ax﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有兩個不同的零點 ∴等價于方程ax=x3恰有兩個不同的解．
當0＜a＜1時，y=ax與y=x3的圖象只有一個交點，
不符合題意．
當a＞1時，y=ax與y=x3的圖象在x∈（﹣∞，0）上沒有交點，所以只考慮x＞0，
于是可兩邊同取自然對數，得xlna=3lnx，即lna= ，
令g（x）= ，則 ，
當x∈（0，e）時，g（x）單調遞增，
當x＜1時，當g（x）＜0，

x∈（e，+∞）時，g（x）單減且g（x）＞0．
∴要有兩個交點，0＜lna＜g（e）= ，即1＜a＜ ．
故選：A
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．