Question

【題目】函數f（x）=xex ．
（1）求f（x）的極值；
（2）k×f（x）≥ x2+x在[﹣1，+∞）上恒成立，求k值的集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex（x+1），

令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1，

令f′（x）＜0，解得：x＜﹣1，

∴f（x）在（﹣∞，﹣1）遞減，在（﹣1，+∞）遞增，

∴f（x）在極小值是f（﹣1）=﹣ ，無極大值

（2）解：x＞0時，k≥ ，

令φ（x）= ，則φ′（x）= ＜0，

φ（x）在（0，+∞）遞減，

故φ（x）≤φ（0）=1，即k≥1；

﹣1≤x＜0時，k≤ ，

φ′（x）= ＜0，

故φ（x）在[﹣1，0]遞減，φ（x）≥φ（0）=1，

故k≤1，

綜上，k=1，

故k∈{1}

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的最小值即可；（2）分離參數，令φ（x）= ，根據函數的單調性求出k的值即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．