Question

已知數列{a_n}的通項a_n=（n+1）（）ⁿ（n∈N）．試問該數列{a_n}有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的項數；若沒有，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：要想判斷一個數列有無最大項，可以判斷數列的單調性，如果數列的前n項是遞增的，從n+1項開始是遞減的，則a_n（a_n+1）即為數列的最大項，故我們可以判斷構造a_n+1-a_n的表達式，然后進行分類討論，給出最終的結論．
解答：解：∵a_n+1-a_n=（n+2）（）ⁿ⁺¹-（n+1）（）ⁿ
=（）ⁿ•，
∴當n＜9時，a_n+1-a_n＞0，即a_n+1＞a_n；
當n=9時，a_n+1-a_n=0，即a_n+1=a_n；
當n＞9時，a_n+1-a_n＜0，即a_n+1＜a_n；
故a₁＜a₂＜a₃＜＜a₉=a₁₀＞a₁₁＞a₁₂＞…．
∴數列{a_n}有最大項a₉或a₁₀，
其值為10•（）⁹，其項數為9或10．
點評：判斷數列的最大（小）項，即判斷a_n+1-a_n的符號在何處變號，
若n＜K時，a_n+1-a_n＞0成立，n≥K時，a_n+1-a_n＜0成立，則a_K即為數列中的最小項；
若n＜K時，a_n+1-a_n＜0成立，n≥K時，a_n+1-a_n＞0成立，則a_K即為數列中的最大項．