Question

【題目】如圖，四邊形為矩形，平面，，，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）點在線段上，且，過、、三點的平面將多面體分成兩部分，設上、下兩部分的體積分別為、，求.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）證明線面平行，只要證明平面外一條直線與平面內一條直線平行，即可證得.本題可證，即可證得平面；

（Ⅱ）設到的距離為，根據第一問可得出，求得，因為，，即可得出的值.

（Ⅰ）證法1：四邊形為矩形，所以，∵平面，平面，∴平面；又，∵平面，平面，∴平面；

因為，平面，平面，所以平面平面，又平面，所以平面.

證法2：如圖，在上取點，使，連接、，

∵，四邊形為平行四邊形，所以，又四邊形為矩形，，所以，所以四邊形為平行四邊形，

所以，∵平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）過作交于點，連接，，，，則

設到的距離為，由證法2知，，，

則，即，∴，

∴，

又.

∴，

∴.

故過、、三點的平面將多面體分成的上、下兩部分的體積為.