Question

【題目】已知，且，圓，點(diǎn)，是圓上的動點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）討論曲線的形狀，并求其方程；

（2）若，且面積的最大值為，直線過點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸，與曲線交于，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為．求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓,其方程為；當(dāng)時(shí)曲線是雙曲線,其方程為；（2）證明詳見解析，定點(diǎn)坐標(biāo).

【解析】

（1）分點(diǎn)在圓內(nèi)和點(diǎn)在圓外兩種情況討論，兩者都可以利用圓錐曲線的定義得到相應(yīng)的曲線方程.

（2）設(shè)，，則直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達(dá)定理化簡后可得為定值，從而可證直線過定點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)，，

故曲線是以為焦點(diǎn)，以為長軸長的橢圓，其方程為.

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓外，，

曲線是以為焦點(diǎn)，以為實(shí)軸長的雙曲線，其方程為.

綜上，當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓,其方程為；當(dāng)時(shí)曲線是雙曲線,其方程為；

（2）由面積有最大值為知，曲線只可能是橢圓，

由橢圓幾何性質(zhì)知，當(dāng)位于短軸端點(diǎn)時(shí)其面積有最大值，因，

故其短半軸長為，又因焦距為2，

故曲線的方程為.

設(shè)，，則，

聯(lián)立，消去得：，

，

直線，

由橢圓的對稱性知，若直線過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)必在軸上，

故令得：，

所以直線過定點(diǎn).