Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 是等邊三角形， ， .

（1）求證：平面平面；

（2）若直線與所成角的大小為60°，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）90°

【解析】【試題分析】（1）由于是等邊三角形，結合勾股定理，可計算證明三條直線兩兩垂直，由此證得平面，進而得到平面平面.（2）根據（1）證明三條直線兩兩垂直，以為空間坐標原點建立空間直角坐標系，利用和所成角為計算出點的坐標，然后通過平面和平面的法向量計算二面角的余弦值并求得大小.

【試題解析】

（1）∵，

且是等邊三角形

∴， ， 均為直角三角形，即， ，

∴平面

∵平面

∴平面平面

（2）以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系．

令， ，

∴， ， ， ．

設，則， ．

∵直線與所成角大小為60°，所以

，

即，解得或（舍），

∴，

設平面的一個法向量為．

∵， ，則

即

令，則，所以．

∵平面的一個法向量為，

∵， ，則

即

令，則， ，

∴．

∴，

故二面角的大小為90°．