Question

【題目】已知函數，其中.

（1）若，求曲線在處的切線方程;

（2）設函數若至少存在一個,使得成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)求導后代入求得在處的切線斜率,再利用點斜式求得切線方程即可.
(2)求導后分與時,分析單調性再根據函數性質的最值滿足的條件列式求不等式即可.

(1)當時,,

∴,即切線斜率為2,故由點斜式方程可得切線方程為,即

(2)原問題等價于至少存在一個,使得成立,

令,則,

①當時,,則函數h(x)在[1,e]上單調遞減,故h(x)min＝h(e)＝﹣2＜0,符合題意；

②當時,令,,解得,則函數h(x)在上單調遞減,令,解得,則函數h(x)在單調遞增,

且,,

1.當,即時,在上,單調遞增,

此時不符合題意

2.當,即時, 在上,單調遞減,

此時滿足題意

3.當,即時,,不滿足題意

綜上,實數a的取值范圍為．