Question

【題目】在中，內角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c.

（1）若,，且的面積為，求的值；

（2）若 ，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

【答案】（1） a＝2，b＝2 （2）等腰三角形或直角三角形

【解析】

試題分析：（1）根據余弦定理，得，再由面積正弦定理得，兩式聯解可得到a，b的值；

（2）根據三角形內角和定理，得到sinC=sin（A+B），代入已知等式，展開化簡合并，得sinBcosA=sinAcosA，最后討論當cosA=0時與當cosA≠0時，分別對△ABC的形狀的形狀加以判斷，可以得到結論．

試題解析：（1） ∵c＝2， ，

∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得a2＋b2－ab＝4.

又∵△ABC的面積為，∴absinC＝，∴ab＝4.

聯立方程組解得a＝2，b＝2.

（2）由sinC＋sin（B－A）＝sin2A，得sin（A＋B）＋sin（B－A）＝2sinAcosA，

即2sinBcosA＝2sinAcosA，

∴cosA·（sinA－sinB）＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，

當cosA＝0時，∵0<A<π，∴A＝，△ABC為直角三角形；

當sinA－sinB＝0時，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，

即△ABC為等腰三角形．

∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．