Question

【題目】已知曲線的方程為，過原點(diǎn)作斜率為的直線和曲線相交，另一個(gè)交點(diǎn)記為，過作斜率為的直線和曲線相交，另一個(gè)交點(diǎn)記為，過作斜率為的直線和曲線相交，另一個(gè)交點(diǎn)記為，……，如此下去，一般地，過作斜率為的直線和曲線相交，另一個(gè)交點(diǎn)記為，設(shè)點(diǎn).

（1）指出，并求與的關(guān)系式；

（2）求的通項(xiàng)公式，并指出點(diǎn)列，，……，，……向哪一點(diǎn)無限接近？說明理由；

（3）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，求所有可能的乘積的和.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；向點(diǎn)無限接近；（3）.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，利用曲線的相交關(guān)系，聯(lián)立方程組求解，即可得出結(jié)果；

（2）先由（1）的結(jié)果，得到，推出，再由累加法，即可求出通項(xiàng)公式；求數(shù)列的極限，結(jié)合雙曲線的方程，即可求出無限接近的點(diǎn)；

（3）先由（2）得到，求出，利用矩陣研究，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，以及分組求和的方法，即可求出結(jié)果.

（1）由題意得，，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，

由題意得，所以；

（2）分別用、代換中的，得

，解得：，

所以，，，…，，

以上各式相加得：，

又，所以，；

因?yàn)?/span>，由代入可得：；

所以點(diǎn)列，，……，，……向點(diǎn)無限接近；

（3）因?yàn)?/span>，所以其前項(xiàng)和，

因此，，

將所得的積排成如下矩陣：，

設(shè)矩陣的各項(xiàng)和為.

在矩陣的左下方補(bǔ)上相應(yīng)的數(shù)可得：，

矩陣中第一行的各數(shù)和，

矩陣中第二行的各數(shù)和，

……

矩陣中第行的各數(shù)和，

從而矩陣中所有數(shù)之和為

；

因此，所有可能的乘積的和為：

.