Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，PA⊥底面ABCD，△ABM是邊長為2的等邊三角形， ．

（1）求證：平面PAM⊥平面PDM；
（2）若點E為PC中點，求二面角P﹣MD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABM是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD是直角梯形，∴ ，

又 ，∴CM=3，∴AD=3+1=4，∴AD2=DM2+AM2，∴DM⊥AM．

又PA⊥底面ABCD，∴DM⊥PA，∴DM⊥平面PAM，

∵DM平面PDM，∴平面PAM⊥平面PDM．

（2）解：以D為原點，DC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸，

過D且與PA平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系D﹣xyz，

則 ， ， ，

設平面PMD的法向量為 ，

則 ，

取x1=3，∴ ．

∵E為PC中點，則 ，CD

設平面MDE的法向量為 ，

則 ，取x2=3，∴ ．

由 ．

∴二面角P﹣MD﹣E的余弦值為

【解析】（1）證明DM⊥AM．DM⊥PA，推出DM⊥平面PAM，即可證明平面PAM⊥平面PDM．（2）以D為原點，DC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸，過D且與PA平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系D﹣xyz，求出平面PMD的法向量，平面MDE的法向量，利用向量的 數量積求解二面角P﹣MD﹣E的余弦值．