Question

【題目】已知α，β為銳角， =cos（α+β）．
（1）求tan（α+β）cotα的值；
（2）求tanβ的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵sinβ=cos（α+β）sinα，

∴sin[（α+β）﹣α]=cos（α+β）sinα，

∴sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=cos（α+β）sinα

∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，

∴tan（α+β）cotα=2

（2）解：∵sinβ=cos（α+β）sinα=sinαcosαcosβ﹣sinβsin2α

∴sinβ（1+sin2α）=sinαcosαcosβ，

∴

即 ，

∵2tanβtan2α﹣tanα+tanβ=0，

∴（﹣1）2≥4（2tanβ）tanβ，

∴ ，當且僅當 時等號成立．

故tanβ的最大值為：

【解析】（1）由β=（α+β）﹣α，利用三角函數恒等變換的應用即可化簡得解．（2）由條件利用兩角和差的正弦公式、同角三角函數的基本關系可得2tanβtan2α﹣tanα+tanβ=0，再根據△=1﹣4（2tanβ）tanβ≥0，求得tanβ的最大值．