Question

設F₁，F(xiàn)₂是雙曲線x²-

y2

4

=1的左右焦點，O是原點，若雙曲線右支上存在一點P滿足：（

OP

+

OF2

）•

F2P

=0，且|

PF1

|=λ|

PF2

|，則λ=（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、3

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線的方程求出焦點坐標F₁、F₂，離心率e；設出點P的坐標，由（

OP

+

OF2

）•

F2P

=0以及雙曲線的第二定義，求出|PF₂|、|PF₁|，即得λ的值．

解答： 解：由題意得，a=1，b=2，∴c=

5

，F(xiàn)₁（-

5

，0），F(xiàn)₂ （

5

，0），e=

5

；
設點P（

1+ m2 4

，m），
∵（

OP

+

OF2

）•

F2P

=（

1+ m2 4

+

5

，m）•（

1+ m2 4

-

5

，m）=1+

m2

4

-5+m²=0，
∴m²=

16

5

，∴m=±

4

5

；
由雙曲線的第二定義得 e=

5

=

|PF2|

1+ m2 4 - 1 5

，∴|PF₂|=2；
∴|PF₁|=2a+|PF₂|=4，
∴λ=

| PF1 |

| PF2 |

=

4

2

=2．
故選：C．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程以及幾何性質(zhì)的應用問題，解題時應熟練地掌握并能正確的應用這些知識，是中檔題．