Question

已知橢圓C與雙曲線

x2

2

-

y2

6

=1有相同焦點F₁和F₂，過F₁的直線交橢圓于A、B兩點，△ABF₂的周長為8

3

．若直線y=t（t＞0）與橢圓C交于不同的兩點E、F，以線段EF為直徑作圓M．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若圓M與x軸相切，求圓M被直線x-

3

y+1=0截得的線段長．

Answer 1

分析：（1）由題意可設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），半焦距為c．由于橢圓C與雙曲線

x2

2

-

y2

6

=1有相同焦點，可得c=

2+6

=2

2

．由于△ABF₂的周長為8

3

，即|AB|+|AF₂|+|BF₂|=8

3

，利用橢圓的定義可得4a=8

3

，再利用b²=a²-c²即可．
（2）聯立

y=t x2 12 + y2 4 =1

，解得點E，F的坐標．由于以線段EF為直徑所作的圓M與x軸相切，可知圓M的半徑r=t=

1

2

|EF|，即可解得t．可得圓心為（0，t），即可得到圓M的方程，利用點到直線的距離公式可得：圓心到到直線x-

3

y+1=0的距離d，再利用弦長公式可得弦長2

r2-d2

．

解答：解：（1）由題意可設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），半焦距為c．
∵橢圓C與雙曲線

x2

2

-

y2

6

=1有相同焦點，∴c=

2+6

=2

2

．
∵△ABF₂的周長為8

3

，∴|AB|+|AF₂|+|BF₂|=8

3

，∴|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=8

3

，
由橢圓的定義可得4a=8

3

，解得a=2

3

，
∴b²=a²-c²=4．
∴橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）聯立

y=t x2 12 + y2 4 =1

，解得

x=± 12-3t2 y=t

，
不妨設E(-

12-3t2

，t)，F(

12-3t2

，t)，
∵以線段EF為直徑所作的圓M與x軸相切，∴r=t=

12-3t2

，解得t=

3

．
∴圓心為（0，

3

）．
∴圓M的方程為x2+(y-

3

)2=3．
圓心（0，

3

）到直線x-

3

y+1=0的距離d=

|0-3+1|

1+( 3 )2

=1．
∴圓M被直線x-

3

y+1=0截得的線段長=2

r2-d2

=2

3-1

=2

2

．

點評：本題考查了圓錐曲線的定義及其性質、圓的標準方程及其切線的性質、弦長公式、點到直線的距離公式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．