Question

（2007•河北區一模）已知橢圓C的方程為 

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），過其左焦點F₁（-1，0）斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點．
（Ⅰ）若

OP

+

OQ

與

a

=（-3，1）共線，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：x+y-

1

2

=0，在l上求一點M，使以橢圓的焦點為焦點且過M點的雙曲線E的實軸最長，求點M的坐標和此雙曲線E的方程．

Answer 1

分析：（I）把直線PQ的方程代入橢圓方程點到根與系數的關系，利用

OP

+

OQ

與

a

=（-3，1）共線，及a²=b²+1即可解出．
（II）設橢圓C的右焦點為F₂，則易知F₁（-1，0）F₂（1，0），直線l的方程為：x+y-

1

2

=0，
因為M在雙曲線E上，要雙曲線E的實軸最大，只須||MF₁|-|MF₂||最大，設F₂（1，0）關于直線l的對稱點為F₂'，則可求F₂'（

1

2

，-

1

2

），則直線F₁F₂'與直線l的交點為所求M，根據2a′=||MF₁|-|MF₂||=||MF₁|-|MF₂'||≤|F₁F₂'|即可證明．

解答：解：（Ⅰ）將直線PQ的方程為y=x+1，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，
化簡得（a²+b²）x²+2a²x+a²-a²b²=0．
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則 x1+x2=-

2a2

a2+b2

．  
由

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)，

OP

+

OQ

與

a

=（-3，1）共線，得3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0．
∴3（x₁+x₂+2）+（x₁+x₂）=0．
∴x1+x2=-

3

2

，即-

2a2

a2+b2

=-

3

2

，∴a²=3b²．  
又∵a²=b²+1，∴a2=

3

2

，b2=

1

2

．
∴橢圓C的方程為

2x2

3

+2y2=1． 
（Ⅱ）設橢圓C的右焦點為F₂，則易知F₁（-1，0）F₂（1，0），
直線l的方程為：x+y-

1

2

=0，
因為M在雙曲線E上，要雙曲線E的實軸最大，只須||MF₁|-|MF₂||最大，
設F₂（1，0）關于直線l的對稱點為F₂'，
則可求F₂'（

1

2

，-

1

2

），則直線F₁F₂'與直線l的交點為所求M，
直線F₁F₂'的方程為y-0=

0-(- 1 2 )

-1- 1 2

(x+1)，化為y=-

1

3

x-

1

3

．
聯立

y=-x+ 1 2 y=- 1 3 x- 1 3

解得M（

5

4

，-

3

4

）．
又2a′=||MF₁|-|MF₂||=||MF₁|-|MF₂'||≤|F₁F₂'|=

10

2

，
∴a′max=

10

4

，b′=

6

4

．
故所求雙曲線E方程為：

8x2

5

-

8y2

3

=1．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、兩點分別在直線異側而如何在直線上找一點使得此點到兩點的距離之差的絕對值最大問題等是解題的關鍵．